Question

已知x∈（0，

π

2

）时，函数h（x）=

1+2sin2x

sin2x

的最小值为b，若定义在R上的函数f（x）满足对任意的x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）-b成立，设M，N分别为f（x）在[-b，b]上的最大值与最小值，则M+N的值为

 

．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数的最值及其几何意义

专题：计算题,函数的性质及应用,三角函数的图像与性质,不等式的解法及应用

分析：由题意先化简h（x）=

1+2sin2x

sin2x

=

3sin2x+cos2x

2sinxcosx

=

3

2

tanx+

1

2tanx

，再利用基本不等式求最值，从而得到对任意的x，y，都有f（x+y）=f（x）+f（y）-

3

成立；再令F（x）=f（x）-

3

，从而求得M-

3

、N-

3

分别是F（x）在[-b，b]上的最大值与最小值；且F（x）是奇函数，从而得到M-

3

+N-

3

=0．从而求得．

解答： 解：h（x）=

1+2sin2x

sin2x

=

3sin2x+cos2x

2sinxcosx

=

3

2

tanx+

1

2tanx

≥2

3 2 • 1 2

=

3

（当且仅当

3

2

tanx=

1

2tanx

，x=

π

6

时，等号成立）
故b=

3

；
故对任意的x，y，都有f（x+y）=f（x）+f（y）-

3

成立；
令F（x）=f（x）-

3

，则f（x）=F（x）+

3

；
故f（x+y）=f（x）+f（y）-

3

可化为F（x+y）=F（x）+F（y）；
从而F（0）=F（0）+F（0），
故F（0）=0；
故F（0）=F（x）+F（-x）=0；
故F（x）是奇函数，
故由M、N分别是f（x）在[-b，b]上的最大值与最小值知，
M-

3

、N-

3

分别是F（x）在[-b，b]上的最大值与最小值；
故M-

3

+N-

3

=0；
故M+N=2

3

．
故答案为：2

3

．

点评：本题考查了函数的性质应用及三角函数的化简与最值的求法，同时考查了基本不等式的应用，属于中档题．