Question

设f（x）=6cos²x-2sinx-cosx，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调增区间；
（Ⅱ）若锐角α满足f（a）=3-2，求tanα及的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调增区间．可先把函数f（x）=6cos²x-2sinx-cosx化简为三角函数的一般形式，然后根据周期公式即可得到最小正周期，再根据解得单调区间即可．
（Ⅱ）若锐角α满足f（a）=3-2，求tanα及的值．因为由f（α）=3-2代入函数值即可得到α的值，然后根据三角函数之间的关系化简求解tanα及，把α的值代入即可．
解答：解：因为：f（x）=6cos²x-2sinx-cosx=3（1+cos2x）-sin2x=2cos（2x+）+3
所以（Ⅰ）f（x）的最小正周期为T=π；
由得f（x）的单调递增区间为（k∈Z）
故答案为且（k∈Z）
（Ⅱ）由f（α）=3-2，即：2cos（2α+）+3=3-2，所以cos（2α+）=-1．
又由0＜α＜得，∴所以
所以tanα=tan=tan==2+
所以==．
点评：此题主要考查三角函数一般形式的化简及周期、单调性的求解问题，题中三角函数化简求值是重点，考查学生的灵活性有一定的计算量．属于中档题目．