题目内容
设f（x）=6cos2x-
sin2x．
（Ⅰ）求f（x）的最大值及最小正周期；
（Ⅱ）△ABC中锐角A满足f(A)=3-2
，B=
，角A、B、C的对边分别为a，b，c，求(
+
)-
的值．
| 3 |
（Ⅰ）求f（x）的最大值及最小正周期；
（Ⅱ）△ABC中锐角A满足f(A)=3-2
| 3 |
| π |
| 12 |
| a |
| b |
| b |
| a |
| c2 |
| ab |
分析：（Ⅰ）将f（x）解析式第一项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，由余弦函数的值域即可求出f（x）的最大值，再将ω的值代入周期公式，即可求出函数的最小正周期；
（Ⅱ）由第一问求出的f（x）解析式，根据f（A）=3-2
，求出cos（2A+
）的值，由A为锐角，求出2A+
的范围，利用特殊角的三角函数值求出2A+
的度数，进而确定出A的度数，再由B的度数，利用三角形的内角和定理求出C的度数，确定出cosC的值，将所求式子括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，再利用同分母分式的减法法则计算，整理后利用余弦定理变形，将cosC的值代入即可求出值．
（Ⅱ）由第一问求出的f（x）解析式，根据f（A）=3-2
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
解答：解：（Ⅰ）f（x）=6cos2x-
sin2x
=6×
-
sin2x
=3cos2x-
sin2x+3
=2
（
cos2x-
sin2x）+3
=2
cos（2x+
）+3，
∵-1≤cos（2x+
）≤1，
∴f（x）的最大值为2
+3；
又ω=2，∴最小正周期T=
=π；
（Ⅱ）由f（A）=3-2
得：2
cos（2A+
）+3=3-2
，
∴cos（2A+
）=-1，
又0＜A＜
，∴
＜2A+
＜
，
∴2A+
=π，即A=
，
又B=
，∴C=
，
∴cosC=
=0，
则（
+
）-
=
=2×
=2cosC=0．
| 3 |
=6×
| 1+cos2x |
| 2 |
| 3 |
=3cos2x-
| 3 |
=2
| 3 |
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
=2
| 3 |
| π |
| 6 |
∵-1≤cos（2x+
| π |
| 6 |
∴f（x）的最大值为2
| 3 |
又ω=2，∴最小正周期T=
| 2π |
| 2 |
（Ⅱ）由f（A）=3-2
| 3 |
| 3 |
| π |
| 6 |
| 3 |
∴cos（2A+
| π |
| 6 |
又0＜A＜
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 7π |
| 6 |
∴2A+
| π |
| 6 |
| 5 |
| 12 |
又B=
| π |
| 12 |
| π |
| 2 |
∴cosC=
| a2+b2-c2 |
| 2ab |
则（
| a |
| b |
| b |
| a |
| c2 |
| ab |
| a2+b2-c2 |
| ab |
| a2+b2-c2 |
| 2ab |
点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：余弦定理，二倍角的余弦函数公式，两角和与差的余弦函数公式，余弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
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