题目内容
设f（x）=6cos2x-2| 3 |
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调增区间；
（Ⅱ）若锐角α满足f（a）=3-2
| 3 |
| 1+2sinacosa |
| sin2a-cos2a |
分析：（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调增区间．可先把函数f（x）=6cos2x-2
sinx-cosx化简为三角函数的一般形式，然后根据周期公式即可得到最小正周期，再根据-π+2kπ≤2x+
≤2kπ解得单调区间即可．
（Ⅱ）若锐角α满足f（a）=3-2
，求tanα及
的值．因为由f（α）=3-2
代入函数值即可得到α的值，然后根据三角函数之间的关系化简求解tanα及
，把α的值代入即可．
| 3 |
| π |
| 6 |
（Ⅱ）若锐角α满足f（a）=3-2
| 3 |
| 1+2sinacosa |
| sin2a-cos2a |
| 3 |
| 1+2sinacosa |
| sin2a-cos2a |
解答：解：因为：f（x）=6cos2x-2
sinx-cosx=3（1+cos2x）-
sin2x=2
cos（2x+
）+3
所以（Ⅰ）f（x）的最小正周期为T=π；
由-π+2kπ≤2x+
≤2kπ得f（x）的单调递增区间为[kπ-
，kπ -
]（k∈Z）
故答案为[kπ-
，kπ -
]且（k∈Z）
（Ⅱ）由f（α）=3-2
，即：2
cos（2α+
）+3=3-2
，所以cos（2α+
）=-1．
又由0＜α＜
得
＜2α+
＜
，∴2α+
=π所以α=
所以tanα=tan
=tan(
+
)=
=2+
所以
=
=
=
=
=
．
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| π |
| 6 |
所以（Ⅰ）f（x）的最小正周期为T=π；
由-π+2kπ≤2x+
| π |
| 6 |
| 7π |
| 12 |
| π |
| 12 |
故答案为[kπ-
| 7π |
| 12 |
| π |
| 12 |
（Ⅱ）由f（α）=3-2
| 3 |
| 3 |
| π |
| 6 |
| 3 |
| π |
| 6 |
又由0＜α＜
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 7π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 5π |
| 12 |
所以tanα=tan
| 5π |
| 12 |
| π |
| 4 |
| π |
| 6 |
| ||||
1-
|
| 3 |
所以
| 1+2sinacosa |
| sin2a-cos2a |
| (sinα+cosα)2 |
| (sinα+cosα)(sinα-cosα) |
| sinα+cosα |
| sinα-cosα |
| tanα+1 |
| tanα-1 |
3+
| ||
1+
|
| 3 |
点评：此题主要考查三角函数一般形式的化简及周期、单调性的求解问题，题中三角函数化简求值是重点，考查学生的灵活性有一定的计算量．属于中档题目．
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