Question

（2013•杭州一模）设f（x）=6cos²x-

3

sin2x（x∈R）．
（Ⅰ）求f（x）的最大值及最小正周期；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，锐角A满足，f（A）=3-2

3

，B=

π

12

，求

a

c

的值．

Answer 1

分析：（I）利用二倍角公式及辅助角公式对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的性质即可求解函数的最大值及周期
（II）由f（A）=3-2

3

，结合A的范围可求A，进而可求C，然后由三角函数的定义可知

a

c

=sinA，代入可求

解答：解：（I）f（x）=6cos²x-

3

sin2x=3+3cos2x-

3

sin2x=2

3

cos（2x+

π

6

）+3
∴f（x）的最大值为2

3

+3，周期T=π
（II）由f（A）=3-2

3

可得2

3

cos(2A+

π

6

)+3=3-2

3

∴cos（2A+

π

6

）=-1
∵0＜A＜

1

2

π
∴

π

6

＜2A+

π

6

＜

7π

6

∴2A+

π

6

=π
∴A=

5π

12

，又∵B=

π

12

∴C=

1

2

π
∴

a

c

=sinA=sin(

π

4

+

π

6

)=

6 + 2

4

点评：本题主要考查了二倍角公式及辅助角公式在三角函数的化简中的应用，解题的关键是公式的熟练应用．