Question

已知点P是△ABC所在平面外一点，过点P作PO⊥平面ABC，垂足为O，连结PA、PB、PC，若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则O是△ABC的

 

心．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：点P为△ABC所在平面外一点，PO⊥平面ABC，垂足为O，分析可证得△POA≌△POB≌△POC，从而证得BE⊥AC、AD⊥BC，符合这一性质的点O是△ABC垂心．

解答： 证明：连结AO并延长，交BC与D连结BO并延长，交AC与E；
因PA⊥PB，PA⊥PC，故PA⊥面PBC，故PA⊥BC；
因PO⊥面ABC，故PO⊥BC，故BC⊥面PAO，
故AO⊥BC即AD⊥BC；
同理：BE⊥AC；
故O是△ABC的垂心．
故答案为：垂．

点评：本题是立体几何中一道证明题，考查了线面垂直的定义与三角形的全等．