Question

已知函数f（x）=e^x-tx（e为自然对数的底数）．
（1）求函数f（x）的单调增区间；
（2）设关于x的不等式f（x）≥x²-2t-3的解集为M，且集合{x|x≥3}⊆M，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,集合的包含关系判断及应用

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）借助导数，讨论t的不同范围确定函数的单调增区间；
（2）将问题化恒成立问题，再转化为最值问题．

解答： 解：（1）∵f（x）=e^x-tx，
∴f'（x）=e^x-t．
当t≤0时，有f'（x）＞0在R上恒成立；
当t＞0时，由f'（x）＞0可得x＞lnt．
综上可得，当t≤0时，函数f（x）的单调增区间为（-∞，+∞）；
当t＞0时，函数f（x）的单调增区间为（lna，+∞）．
（2）由不等式f（x）≥x²-2t-3即e^x-x²+3≥（x-2）t的解集为M，且{x|x≥3}⊆M，可知，
对于任意x≥3，不等式e^x-x²+3≥（x-2）t即t≤

ex-x2+3

x-2

恒成立．
令g(x)=

ex-x2+3

x-2

，g′(x)=

(x-3)(ex-x+1)

(x-2)2

．
令h（x）=e^x-x+1，h′（x）=e^x-1，
当x≥3时，e^x-1＞0，即h（x）≥h（3）=e³-2＞0，
∴g′（x）＞0，即x≥3时，g（x）为增函数，
∴g(x)≥g(3)=

e3-6

3-2

=e3-6．
∴t≤e³-6．
∴实数t的取值范围是（-∞，e³-6]．

点评：本题考查了导数的综合应用，将单调性问题化为导数的正负问题，同时考查了转化的思想，恒成立问题化为最值问题，属于难题．