Question

已知函数f（x）=log_a

1-mx

x-1

（a＞0，a≠1，m≠1）是奇函数，
（1）求实数m的值；
（2）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并给出证明．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由已知条件得f（-x）+f（x）=0对定义域中的x均成立，化简即m²x²-1=x²-1对定义域中的x均成立，解出m，并代入题目进行检验．
（2）将对数的真数进行常数分离，先判断真数的单调性，再根据底数的范围确定整个对数式得单调性．

解答： 解：（1）由题意得f（x）+f（-x）对定义域中的x均成立，
∴log_a

1-mx

x-1

+log_a

mx+1

-x+1

=0，即

1-mx

x-1

•

mx+1

-x+1

=1，
即m²x²-1=x²-1，
解得m=-1，或m=1（舍去），
（2）由（1）得f（x）=log_a

1+x

x-1

，
设t=

x+1

x-1

=1+

2

x-1

，
当x₁＞x₂＞1时，当t₁-t₂=

2

x1-1

-

2

x2-1

=

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

＞0，
当a＞1时，log_at₁＜log_at₂，即f（x₁）＜f（x₂）．
所以当a＞1时，f（x）在（1，+∞）上是减函数．
同理当0＜a＜1时，f（x）在（1，+∞）上是增函数

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，以及对数的图象和性质，利用奇偶性的对应建立方程是解决本题的关键．