Question

15．已知F₁，F₂是双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的两个焦点，M（x₀，y₀）（x₀＞0，y₀＞0）是双曲线的渐近线上一点，满足MF₁⊥MF₂，如果以F₂为焦点的抛物线y²=2px（p＞0）经过点M，则此双曲线的离心率为（　　）

• A． $2+\sqrt{3}$
• B． $2-\sqrt{3}$
• C． $2+\sqrt{5}$
• D． $\sqrt{5}-2$

Answer 1

分析 设M（x₀，y₀），F₁（-c，0），F₂（c，0），由MF₁⊥MF₂以及点M（x₀，y₀）在直线$y=\frac{b}{a}x$上，列出方程，根据抛物线的定义可知$|{M{F_2}}|={x_0}+\frac{p}{2}=a+c$，然后最后求解双曲线的离心率即可．

解答 解：设M（x₀，y₀），F₁（-c，0），F₂（c，0），由MF₁⊥MF₂可知$|{OM}|=\frac{1}{2}|{{F_1}{F_2}}|=c$，
又点M（x₀，y₀）在直线$y=\frac{b}{a}x$上，所以$\left\{\begin{array}{l}{y_0}=\frac{b}{a}{x_0}\\{x_0}^2+{y_0}^2={c^2}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{x_0}=a\\{y_0}=b\end{array}\right.$，于是根据抛物线的定义可知$|{M{F_2}}|={x_0}+\frac{p}{2}=a+c$，
所以$\sqrt{{{（a-c）}^2}+{b^2}}=a+c$，即c²-4ac-a²=0，e²-4e-1=0，$e=\frac{c}{a}=2+\sqrt{5}$，
则双曲线的离心率为$2+\sqrt{5}$．
故选：C．

点评 本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．