Question

4．已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，公比为$\frac{3}{2}$．
（1）若${S_4}=\frac{65}{24}$，求a₁；
（2）若a₁=2，${c_n}=\frac{1}{2}{a_n}+bn$，且c₂，c₄，c₅成等差数列，求b．

Answer 1

分析 （1）利用等比数列的公比，结合${S_4}=\frac{65}{24}$，直接求解a₁；
（2）通过a₁=2，化简${c_n}=\frac{1}{2}{a_n}+bn$，利用c₂，c₄，c₅成等差数列，得到方程，求解b即可．

解答 解：（1）∵公比$q=\frac{3}{2}$，${S_4}=\frac{65}{24}$，
∴$\frac{{{a_1}[1-{{（\frac{3}{2}）}^4}]}}{{1-\frac{3}{2}}}=\frac{65}{24}$，
则$（1-\frac{81}{16}）{a_1}=-\frac{65}{48}$，
解得${a_1}=\frac{1}{3}$．
（2）∵a₁=2，公比为$\frac{3}{2}$，∴a₂=3，${a_4}=\frac{27}{4}$，${a_5}=\frac{81}{8}$，
∴${c_2}=\frac{3}{2}+2b$，${c_4}=\frac{27}{8}+4b$，${c_5}=\frac{81}{16}+5b$．
∵c₂，c₄，c₅成等差数列．
∴$2（\frac{27}{8}+4b）=\frac{3}{2}+2b+\frac{81}{16}+5b$．
解得$b=-\frac{3}{16}$．

点评 本题考查数列的递推关系式的应用，考查转化思想以及计算能力．