Question

已知函数f（x）=sin（2x+

π

6

）+

1

2

+m的图象过点（

5π

12

，0）
（1）求实数m的值及f（x）的周期及单调递增区间；
（2）若x∈[0，

π

2

]，求f（x）的值域．

Answer 1

考点：三角函数的周期性及其求法,正弦函数的单调性,三角函数的最值

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由函数f（x）=sin（2x+

π

6

）+

1

2

+m的图象过点（

5π

12

，0），求得m的值，可得f（x）的解析式，从而利用正弦函数的周期性求得函数的周期．令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范围，可得函数的增区间．
（2）根据x∈[0，

π

2

]，利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的值域．

解答： 解：（1）由函数f（x）=sin（2x+

π

6

）+

1

2

+m的图象过点（

5π

12

，0），可得sinπ+

1

2

+m=0，求得m=-

1

2

，
∴f（x）=sin（2x+

π

6

），故函数的周期为

2π

2

=π．
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，故函数的增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈z．
（2）∵x∈[0，

π

2

]，∴2x+

π

6

∈x∈[

π

6

，

7π

6

]，
∴-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，即f（x）的值域为[-

1

2

，1]．

点评：本题主要考查正弦函数的周期性、单调性、定义域和值域，属于基础题．