Question

已知向量

a

=（cos

3x

2

，sin

3x

2

），

b

=（cos

x

2

，-sin

x

2

），且x∈[

π

2

，

3π

2

]．
（1）求

a

•

b

及|

a

+

b

|；
（2）求函数f（x）=

a

•

b

-|

a

+

b

|的最小值．

Answer 1

考点：两角和与差的余弦函数,向量的模,平面向量数量积的运算

专题：三角函数的求值,平面向量及应用

分析：（1）由条件利用两个向量的数量积公式，化简函数f（x）的解析式，再根据向量的模的定义求出|

a

+

b

|的值．
（2）由f（x）=

a

•

b

-|

a

+

b

|=2（cosx+

1

2

）²-

3

2

，结合x∈[

π

2

，

3π

2

]，即-1≤cosx≤0，利用二次函数的性质可得[f（x）]_min的值．

解答： 解：（1）由题意可得

a

•

b

=cos

3x

2

cos

x

2

+sin

3x

2

（-sin

x

2

）
=cos

3x

2

cos

x

2

-sin

3x

2

sin

x

2

=cos（

3x

2

+

x

2

）=cos2x．
∵

a

+

b

=（cos

3x

2

+cos

x

2

，sin

3x

2

-sin

x

2

），
∴|

a

+

b

|=

(cos 3x 2 +cos x 2 )2+(sin 3x 2 -sin x 2 )2

=

2cos2x+2

=

4cos2x

=2|cosx|．
∵x∈[

π

2

，

3π

2

]，∴|

a

+

b

|=-2cosx．
（2）∵f（x）=

a

•

b

-|

a

+

b

|=cos2x-（-2cosx）=cos2x+2cosx=2cos²x+2cosx-1
=2（cosx+

1

2

）²-

3

2

．  
∵x∈[

π

2

，

3π

2

]，∴-1≤cosx≤0，
∴当cosx=-

1

2

时，[f（x）]_min=-

3

2

．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，求向量的模的方法，二次函数的性质，属于基础题．