题目内容

在Rt△ABC中，∠C=90°，|
AB
|=5，|
CA
|=3，P为线段AB上的点，
CP
=x•
CA
|
CA
|
+y•
CB
|
CB
|
，则xy的最大值为（　　）
A、1B、2C、3D、4
考点：平面向量的基本定理及其意义
专题：平面向量及应用
分析：在Rt△ABC中，∠C=90°，|
AB
|=5，|
CA
|=3，由勾股定理可得：|
CB
|=4．利用
CP
=x•
CA
|
CA
|
+y•
CB
|
CB
|
=
x
3
CA
+
y
4
CB
=（x，y）．由直线AB的方程为：
x
3
+
y
4
=1，P为线段AB上的点，可得
x
3
+
y
4
=1（x≥0，y≥0）．再利用基本不等式的性质即可得出．
解答： 解：如图所示，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，|
AB
|=5，|
CA
|=3，
∴|
CB
|=4．
∴
CP
=x•
CA
|
CA
|
+y•
CB
|
CB
|
=
x
3
CA
+
y
4
CB
=（x，y）．
又直线AB的方程为：
x
3
+
y
4
=1，
P为线段AB上的点，
∴
x
3
+
y
4
=1（x≥0，y≥0）．
∴1≥2
x
3
×
y
4
，化为xy≤3，当且仅当x=
3
2
，y=2时取等号．
∴xy的最大值为3．
故选：C．
点评：本题考查了勾股定理、向量的坐标运算、基本不等式的性质，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
如图，过双曲线x2-
y2
4
=1的右焦点作直线l与圆x2+y2=4相切于点M，l与双曲线交于点P，则
|PM|
|PF|
=
 
．
扇形的半径是
6
，圆心角是60°，则该扇形的面积为
 
．
若x+yi=1+2xi（x，y∈R），则x-y等于（　　）
A、0B、-1C、1D、2
（理科）已知A、B、C三点不共线，O是平面ABC外的一点，点P在平面ABC内，且满足
OP
=
OA
+
OB
+m
OC
，则实数m的值为（　　）
A、1B、-1C、2D、-2
如图，D是△ABC边BC的中点，
BA
=
a
、
AC
=
b
，已知
AD
=λ
a
+μ
b
，则（　　）
A、λ=μ=
1
2
B、λ=-
1
2
，μ=
1
2
C、λ=μ=-
1
2
D、λ=
1
2
，μ=-
1
2
如图，已知l1，l2，l是同一平面内的三条直线，l1⊥l，l2与l不垂直，求证：l1与l2必相交．
证明：假设l1与l2不相交，则l1∥l2，所以∠1=∠2．
因为l2与l不垂直，
所以∠2≠90°，所以∠1≠90°，
所以l1不是l的垂线，与已知条件矛盾，
所以l1与l2必相交．
本题所采用的证明方法是（　　）
A、分析法B、综合法
C、反证法D、归纳法
已知函数f（x）=x2-（2a+1）x+alnx．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的增区间；
（Ⅱ）讨论函数f（x）在区间[1，e]上的最小值．
已知向量
a
=（cos
3x
2
，sin
3x
2
），
b
=（cos
x
2
，-sin
x
2
），且x∈[
π
2
，
3π
2
]．
（1）求
a
•
b
及|
a
+
b
|；
（2）求函数f（x）=
a
•
b
-|
a
+
b
|的最小值．

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