Question

20．如果一个正四面体的体积为9dm³，则其表面积S的值为18$\sqrt{3}$dm³．

Answer 1

分析 求出正四面体的高和斜高，根据体积公式列方程解出棱长，再计算表面积．

解答 解：过顶点S作底面ABC的垂线SO，则O为底面ABC的中心，
连接AO并延长交BC于D，连接SD，则D为BC的中点，
设正四面体的棱长为adm，则AD=SD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，OD=$\frac{1}{3}$AD=$\frac{\sqrt{3}}{6}$a，
∴SO=$\sqrt{S{D}^{2}-O{D}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a，
∴V=$\frac{1}{3}$S_△ABC•SO=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}×\frac{\sqrt{6}}{3}a$=9，∴a=3$\sqrt{2}$．
∴正四面体的表面积S=4S_△ABC=4×$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²=18$\sqrt{3}$．
故答案为18$\sqrt{3}$dm³．

点评 本题考查了棱锥的结构特征，体积和表面积计算，属于中档题．