Question

9．已知正实数a、b满足：$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=2\sqrt{ab}$．
（1）求a+b的最小值m；
（2）在（1）的条件下，若不等式|x-1|+|x-t|≥m对任意实数x恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用基本不等式，即可求a+b的最小值m；
（2）∵|x-1|+|x-t|≥m对任意实数x恒成立等价于（|x-1|+|x-t|）_min≥2，而|x-1|+|x-t|≥|（x-1）-（x-t）|=|t-1|，由此可求实数t的取值范围．

解答 解：（1）∵$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=2\sqrt{ab}$且$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}≥\frac{2}{{\sqrt{ab}}}$，
∴ab≥1（当且仅当a=b时取等号），…（3分）
∴$a+b≥2\sqrt{ab}≥2$（当且仅当a=b时取等号）
∴m=2；   …（5分）
（2）∵|x-1|+|x-t|≥m对任意实数x恒成立等价于（|x-1|+|x-t|）_min≥2
而|x-1|+|x-t|≥|（x-1）-（x-t）|=|t-1|…（7分）
∴|t-1|≥2∴t≤-1或 t≥3…（10分）

点评 本题主要考查绝对值的意义，带有绝对值的函数，函数的恒成立问题，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．