Question

15．球O面上四点P、A、B、C满足：PA、PB、PC两两垂直，$PA=3，PB=4，PC=5\sqrt{3}$，则球O的表面积等于100π．

Answer 1

分析 由题意可知三棱锥P-ABC是长方体的一个角，该长方体的对角线的长就是经过P、A、B、C四点的球的直径，利用长方体对角线长公式算出球的直径，从而得到球的半径，再由球的表面积公式加以计算，可得答案．

解答 解：根据题意，可知三棱锥P-ABC是长方体的一个角，该长方体的外接球就是经过P，A，B，C四点的球
∵$PA=3，PB=4，PC=5\sqrt{3}$，
∴长方体的对角线的长为$\sqrt{P{A}^{2}+P{B}^{2}+P{C}^{2}}$=10，
即外接球的直径2R=10，可得R=5，
因此，外接球的表面积为S=4πR²=4π×5²=100π
故答案为：100π．

点评 本题给出三条侧棱两两垂直的三棱锥，求它的外接球的表面积．着重考查了长方体对角线公式、球内接多面体和球的表面积公式等知识，属于基础题．