Question

11．如图1，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=AB=$\frac{1}{2}$BC=1，E是底边BC上的一点，且EC=3BE．现将△CDE沿DE折起到△C₁DE的位置，得到如图2所示的四棱锥C₁-ABED，且C₁A=AB．
（Ⅰ）求证：C₁A⊥平面ABED；
（Ⅱ）若M是棱C₁E的中点，求直线BM与平面C₁DE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）连接AE，利用勾股定理的逆定理证明C₁A⊥AD，C₁A⊥AE，得出C₁A⊥平面ABED；
（2）根据等积法求出B到平面C₁DE的距离h，再计算BM，即可得出直线BM与平面C₁DE所成角的正弦值$\frac{h}{BM}$．

解答 证明：（I）连接AE．
∵直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=AB=$\frac{1}{2}$BC=1，EC=3BE，
∴BE=$\frac{1}{2}$，CE=$\frac{3}{2}$，CD=$\sqrt{2}$，AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．即C₁E=$\frac{3}{2}$，C₁D=$\sqrt{2}$，
∵C₁A=AB=1，
∴C₁A²+AD²=C₁D²，C₁A²+AE²=C₁E²，
∴C₁A⊥AD，C₁A⊥AE，
又AD?平面ABED，AE?平面ABED，AD∩AE=A，
∴C₁A⊥平面ABED．
（II）连接BD，则V${\;}_{{C}_{1}-BDE}$=$\frac{1}{3}$S_△BDE•C₁A=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×1×1$=$\frac{1}{12}$，
∵S${\;}_{△{C}_{1}DE}$=S_△CDE=$\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×1$=$\frac{3}{4}$，设B到平面C₁DE的距离为h，
则V${\;}_{B-{C}_{1}DE}$=$\frac{1}{3}{S}_{△{C}_{1}DE}•h$=$\frac{h}{4}$，
∵V${\;}_{{C}_{1}-BDE}$=V${\;}_{B-{C}_{1}DE}$，∴h=$\frac{1}{3}$．
∵BE⊥AB，BE⊥C₁A，C₁A∩AB=A，
∴BE⊥平面C₁AB，
∴BE⊥BC₁，又M为C₁E的中点，
∴BM=$\frac{1}{2}$C₁E=$\frac{3}{4}$．
∴直线BM与平面C₁DE所成角的正弦值为$\frac{h}{BM}$=$\frac{4}{9}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定，空间距离的计算，属于中档题．