Question

已知点Q是抛物线C₁：y²=2px（p＞0）上异于坐标原点O的点，过点Q与抛物线C₂：y=2x²相切的两条直线分别交抛物线C₁于点A，B．若点Q的坐标为（1，-6），求直线AB的方程及弦AB的长．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先求出抛物线C₁的方程，设抛物线C₂的切线方程为y+6=k（x-1），与抛物线C₂：y=2x²联立，由于直线与抛物线C₂相切，故△=k²-8k-48=0，解得k=-4或k=12，即可求直线AB的方程及弦AB的长．

解答： 解：由Q（1，-6）在抛物线C₁：y²=2px（p＞0）上，可得p=18，
所以抛物线C₁的方程为y²=36x．…（3分）
设抛物线C₂的切线方程为y+6=k（x-1），
联立

y+6=k(x-1) y=2x2

，得2x²-kx+（k+6）=0，…（6分）
由于直线与抛物线C₂相切，故△=k²-8k-48=0，解得k=-4或k=12．…（8分）
由

y+6=-4(x-1) y2=36x

得A(

1

4

，-3)；由

y+6=12(x-1) y2=36x

得B(

9

4

，9)．…（10分）
所以直线AB的方程为12x-2y-9=0，弦AB的长为2

37

．…（12分）

点评：本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．