Question

直线x+y+m=0（m＞0）与圆x²+y²=2交于不同的两点A、B，O是坐标原点且|

OA

+

OB

|≥|

AB

|，则实数m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：设AB线段的中点为C，可得2|

OC

|≥|

AB

|，可得1≤OC＜2，利用圆心到直线的距离公式列出关于m的不等关系，求解即可得到实数m的取值范围．

解答： 解：∵直线x+y+m=0与圆x²+y²=4交于不同的两点A，B，
故AB为圆的一条弦，且圆心O（0，0），半径r=2，
设线段AB的中点为C，根据向量加法的平行四边形法则，可得2|

OC

|≥|

AB

|，
所以|

OC

|≥

1

2

|

AB

|=AC，|，∴∠AOC≤45°，∠AOB≤90°．
当∠AOB=90° 时，|AB|=

2

R=2，圆心到直线的距离|OC|=1，
故当∠AOB≤90°时，由题意可得 
可得1≤OC＜

2

，
即1≤

|0+0+m|

2

＜

2

，
解得

2

≤|m|＜2，
解得实数m的取值范围是（-2，-

2

]∪[

2

，2）．
故答案为：（-2，-

2

]∪[

2

，2）．

点评：本题考查了直线与圆的位置关系以及向量的加法，关键是将|

OA

+

OB

|≥|

AB

|转化为圆心到直线的距离，属于中档题．