Question

如图，四棱锥P--ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E为PB的中点．且PD=

2

AB
（1）求证：平面AEC⊥平面PDB；
（2）求AE与平面PDB所成的角的大小．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,平面与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）欲证平面AEC⊥平面PDB，根据面面垂直的判定定理可知在平面AEC内一直线与平面PDB垂直，而根据题意可得AC⊥平面PDB；
（2）连接AC，BD，交于O，连接OE，则∠AEO为AE与平面PDB所成的角，求出AO，AE，即可得到结论．

解答： （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵PD⊥底面ABCD，
∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB，
∴平面AEC⊥平面PDB；
（2）解：连接AC，BD，交于O，连接OE，则
∵PD⊥底面ABCD，AC?底面ABCD，
∴PD⊥AC，
∵四棱锥P-ABCD的底面是正方形，
∴AC⊥BD
∵PD∩BD=D
∴AC⊥平面PDB
∴∠AEO为AE与平面PDB所成的角，
设AB=a，则PD=

2

a，∴OE=

2

2

a
∵AO=

2

2

a，∴AE=a，
∴sin∠AEO=

AO

AE

=

2

2

，
∴∠AEO=45°

点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及直线与平面所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．