Question

16．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，-$\frac{π}{2}$≤φ＜$\frac{π}{2}$）的图象关于直线x=$\frac{π}{6}$对称，且图象上相邻最高点的距离为π．
（1）求f（x）的解析式；
（2）将y=f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位，得到g（x）的图象若关于x的方程g（x）-（2m+1）=0在$[0，\frac{π}{2}]$上有唯一解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意利用正弦函数的周期性以及图象的对称性，求得f（x）的解析式．
（2）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，根据题意，g（x）的图象和直线y=2m+1在[0 $\frac{π}{2}$]上只有一个交点，结合g（x）在$[0，\frac{π}{2}]$上的图象，求得m的范围．

解答 解：（1）因为f（x）的图象上相邻最高点的距离为$\frac{2π}{ω}$=π，
∴ω=2．
又f（x）的图象关于直线x=$\frac{π}{6}$对称，
∴2•$\frac{π}{6}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，∵-$\frac{π}{2}$≤φ＜$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{6}$，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（2）将y=f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位，
得到g（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）的图象，
根据方程g（x）-（2m+1）=0在$[0，\frac{π}{2}]$上有唯一解，
可得g（x）的图象和直线y=2m+1在[0 $\frac{π}{2}$]上只有一个交点，
在$[0，\frac{π}{2}]$上，2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，令t=2x-$\frac{π}{6}$，
则y=2sint在t∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]上的图象和直线y=2m+1只有一个交点，
只需-1≤2m+1＜1或2m+1=2，解得-1≤m＜0或m=$\frac{1}{2}$．
即实m的取值范围为{m|-1≤m＜0或m=$\frac{1}{2}$}．

点评 本题主要考查正弦函数的周期性以及图象的对称性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，方程根的存在性以及个数判断，属于中档题．