Question

已知数列{a_n}共有2k项（整数k≥2），数列{a_n}的前n项的和为S_n，满足a₁=2，a_n+1=（a-1）S_n+2（n=1，2，…，2k-1），其中常数a＞1，求证{a_n}为等比数列．

Answer 1

考点：等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：由a_n+1=（a-1）S_n+2（n=1，2，…，2k-1），当n≥2时，a_n=（a-1）S_n-1+2，两式相减可得：a_n+1=a•a_n．即可证明．

解答： 证明：∵a_n+1=（a-1）S_n+2（n=1，2，…，2k-1），
∴当n≥2时，a_n=（a-1）S_n-1+2，
两式相减可得：a_n+1-a_n=（a-1）a_n，化为a_n+1=a•a_n．
又a₂=2（a-1）+2=2a=2a₁．
∵a₁=2，a＞1．
∴{a_n}为等比数列．

点评：本题考查了递推式的意义、等比数列的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．