Question

已知f（x）=|x-3|-1
（1）若f（x）≥2，求x的取值范围；
（2）?x∈R，f（x）＞|x+1|-|a|恒成立，求a的范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）由f（x）≥2，可得|x-3|≥3，由此解绝对值不等式，求得要求的x的范围．
（2）由题意可得|x-3|-|x+1|≥1-|a|恒成立，故-4≥1-|a|，即|a|≥5，由此求得a的范围．

解答： 解：（1）由f（x）≥2，可得|x-3|≥3，∴x-3≥3，或 x-3≤-3，
求得x≥6，或x≤0，故要求的x的范围为{x|x≥6，或 x≤0 }．
（2）∵?x∈R，f（x）＞|x+1|-|a|恒成立，可得|x-3|-|x+1|≥1-|a|．
由于表示数轴上的x对应点到3的距离减去它到-1的距离，故|x-3|-|x+1|的最小值为-4，
由题意可得，-4≥1-|a|，即|a|≥5，求得a≥5，或a≤-5．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，绝对值的意义，属于基础题．