Question

已知等差数列{a_n}的前n项和S_n，公差d≠0，且a₃+S₅=42，a₁，a₄，a₁₃成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设{ 

bn

an

 }是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件利用等差数列的通项公式、前n项和公式、等比数列的性质求出a₁=3，d=2，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由已知得

bn

2n+1

=3^n-1，从而b_n=（2n+1）•3^n-1，由此利用错位相减法能求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）∵等差数列{a_n}的前n项和S_n，公差d≠0，
且a₃+S₅=42，a₁，a₄，a₁₃成等比数列，
∴

a1+2d+5a1+ 5×4 2 d=42 (a1+3d)2=a1(a1+12d) d≠0

，
解得a₁=3，d=2，
∴a_n=3+（n-1）×2=2n+1．
（2）∵{

bn

an

}是首项为1，公比为3的等比数列，
∴

bn

2n+1

=3^n-1，即b_n=（2n+1）•3^n-1，
∴T_n=3•3⁰+5•3+7•3²+…+（2n+1）•3^n-1，①
3T_n=3•3+5•3²+7•3³+…+（2n+1）•3ⁿ，②
①-②，得：-2T_n=3+2（3+3²+…+3^n-1）-（2n+1）•3ⁿ
=3+2×

3(1-3n-1)

1-3

-（2n+1）•3ⁿ
=3-3+3^n-1-（2n+1）•3ⁿ
=3^n-1-（2n+1）•3ⁿ，
∴T_n=

2n+1

2

•3n-

3n-1

2

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．