Question

已知函数f（x）=-x|x-a|+1（x∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求使f（x）=x成立的x的值；
（Ⅱ）当a∈（0，3），求函数y=f（x）在x∈[1，2]上的最大值；
（Ⅲ）对于给定的正数a，有一个最大的正数M（a），使x∈[0，M（a）]时，都有|f（x）|≤2，试求出这个正数M（a），并求它的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法,二次函数在闭区间上的最值,函数的零点

专题：压轴题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=-x|x-1|+1=

-x2+x+1，x≥1 x2-x+1，x＜1

，依题意，可得

x≥1 -x2+x+1=x

①，或

x2-x+1=x x＜1

 ②．分别解之即可；
（Ⅱ）当a∈（0，3），作出函数y=f（x）的图象，分0＜a≤1、1＜a＜2与2≤a＜3三类讨论，数形结合，即可求得函数y=f（x）在x∈[1，2]上的最大值；
（Ⅲ）依题意，可将问题转化为在给定区间上，f（x）≥-2恒成立即可．由f（

a

2

）=1-

a2

4

，分两种情况讨论，当1-

a2

4

≤-2时，M（a）是方程x²-ax+1=-2的较小根；
当1-

a2

4

＞-2时，M（a）是方程-x²+ax+1=-2的较大根，分别解答后，取并即可求得M（a）的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=-x|x-1|+1=

-x2+x+1，x≥1 x2-x+1，x＜1

，
由f（x）=x可得

x≥1 -x2+x+1=x

①，或

x2-x+1=x x＜1

 ②．
解①求得x=1，解②求得 x无解，
综上可得，x=1．
（Ⅱ）f（x）=

-x2+ax+1，x≥a x2-ax+1，x＜a

，作出示意图，
注意到几个关键点的值：
f（0）=f（a）=1，f（

a

2

）=1-

a2

4

，
当0＜a≤1时，f（x）在[1，2]上单调递减，函数的最大值为f（1）=a；
1＜a＜2时，f（x）在[1，a]上单调递增，在[a，2]上单调递减，
函数的最大值为f（a）=1；
当2≤a＜3时，f（x）在[1，

a

2

]上单调递减，在[

a

2

，2]上单调第增，
且直线x=

a

2

是函数的对称轴，由于（2-

a

2

）-（

a

2

-1）=3-a＞0，
故函数的最大值为f（2）=5-2a．
综上可得，f（x）_max=

a，0＜a≤1 1，1＜a＜2 5-2a，2≤a＜3

．
（Ⅲ）由于当x＞0时，函数f（x）的最大值为1，故问题转化为在给定区间上，f（x）≥-2恒成立即可．
由f（

a

2

）=1-

a2

4

，分两种情况讨论，当1-

a2

4

≤-2时，M（a）是方程x²-ax+1=-2的较小根．
即a≥2

3

时，M（a）=

a- a2-12

2

=

6

a+ a2-12

∈（0，

3

]．
当1-

a2

4

＞-2时，M（a）是方程-x²+ax+1=-2的较大根．
即0＜a＜2

3

时，M（a）=

a+ a2+12

2

∈（

3

，

3

+6）．
综上M（a）=

a- a2-12 2 (a≥2 3 ) a+ a2+12 2 (0＜a＜2 3 )

，且M（a）∈（0，

3

+

6

）．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，着重考查二次函数在闭区间上的最值，综合考查数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想，考查逻辑思维、抽象思维、创新思维的综合运用，是难题．