Question

在数列{an},{bn}中,a1=2,b1=4,且an,bn,an+1成等差数列,bn,an+1,bn+1成等比数列(n∈N*).

(1) 求a2,a3,a4及b2,b3,b4,由此猜测{an},{bn}的通项公式,并证明你的结论;

(2) 求证:++…+<.

Answer 1

 (1) 由题意得2bn=an+an+1,=bnbn+1,由此可得

a2=6,b2=9,a3=12,b3=16,a4=20,b4=25.

猜测an=n(n+1),bn=(n+1)2.

用数学归纳法证明:

①当n=1时,由已知可得结论成立.

②假设当n=k时结论成立,即

ak=k(k+1),bk=(k+1)2.

那么当n=k+1时,

ak+1=2bk-ak=2(k+1)2-k(k+1)=(k+1)(k+2),

bk+1==(k+2)2.

所以当n=k+1时,结论也成立.

由①②可知an=n(n+1),bn=(n+1)2对一切正整数都成立.

(2) 当n=1时,=<.

当n≥2时,由(1)知an+bn=(n+1)(2n+1)>2(n+1)n.

故++…+

<+×

=+×

=+×<+=,

综上,原不等式成立.