Question

11．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=1，BC=$\sqrt{3}$，P为△ABC内一点，∠APB=90°．
（1）若PA=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，求PB；
（2）若∠BPC=120°，求tan∠PCB．

Answer 1

分析 （1）在Rt△BPA中，利用勾股定理能求出PB．
（2）推导出∠ABP=60°，从而∠PBC=90°-60°=30°，进而∠PCB=180°-120°-30°=30°，由此能求出tan∠PCB．

解答 解：（1）在Rt△BPA中，
∵PA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，AB=1，∠APB=90°．
∴PB=$\sqrt{A{B}^{2}-A{P}^{2}}$=$\sqrt{1-\frac{3}{4}}$=$\frac{1}{2}$．
（2）∵PA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，AB=1，∠APB=90°，PB=$\frac{1}{2}$．
∴∠ABP=60°，∴∠PBC=90°-60°=30°，
∵∠BPC=120°，
∴∠PCB=180°-120°-30°=30°，
∴tan∠PCB=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题在直角三角形中求线段PA的长与角的正切值，着重考查了利用正余弦定理解三角形、同角三角函数的基本关系和两角和与差的三角公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，属于中档题．