Question

设是椭圆上的两点，已知向量，,若且椭圆的离心率短轴长为2，为坐标原点.

(1)求椭圆的方程；

（2）若直线过椭圆的焦点（0，c），（c为半焦距），求直线的斜率的值；

（3）试问：的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.

Answer 1

 解：（1）

椭圆的方程为               

（2）由题意，设的方程为

 

由已知得：                                   

    ……7分

(3) ①当直线AB斜率不存在时，即,由

                 

又 在椭圆上，所以

 

所以三角形的面积为定值.                 

②当直线AB斜率存在时：设AB的方程为y=kx+b

                              

                      

 

所以三角形的面积为定值.