Question

9．函数f（x）=（x+a）lnx，f′（1）=0，
（1）求f（x）的解析式；
（2）求y=f（x）在（e，f（e））处的切线．

Answer 1

分析 （1）利用f′（1）=0，求出a，即可求f（x）的解析式；
（2）求出切线的斜率，切点坐标，即可求y=f（x）在（e，f（e））处的切线．

解答 解：（1）∵f（x）=（x+a）lnx，
∴f′（x）=lnx+$\frac{x+a}{x}$，
∵f′（1）=0，
∴1+a=0，
∴a=-1，
∴f（x）=（x-1）lnx；
（2）f′（e）=lne+$\frac{e-1}{e}$=$\frac{2e-1}{e}$，f（e）=e-1，
∴y=f（x）在（e，f（e））处的切线为y-e+1=$\frac{2e-1}{e}$（x-e），即$y=\frac{2e-1}{e}x-e$．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．