Question

17．阅读下列有关光线的入射与反射的两个事实现象，现象（1）：光线经平面镜反射满足入射角i与反射角r相等（如图19-1）；现象（2）：光线从椭圆的一个焦点出发经椭圆反射后通过另一个焦点（如图19-2）．试结合上述事实现象完成下列问题：
（1）有一椭圆型台球桌2a，长轴长为短轴长为2b．将一放置于焦点处的桌球击出，经过球桌边缘的反射（假设球的反射完全符合现象（2））后第一次返回到该焦点时所经过的路程记为S，求S的值（用a，b表示）；
（2）结论：椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1上任一点P（x₀，y₀）处的切线l的方程为$\frac{{{x_0}x}}{a^2}$+$\frac{{{y_0}y}}{b^2}$=1．记椭圆C的方程为C：$\frac{x^2}{4}$+y²=1．
①过椭圆C的右准线上任一点M向椭圆C引切线，切点分别为A，B，求证：直线l_AB恒过一定点；
②设点P（x₀，y₀）为椭圆C上位于第一象限内的动点，F₁，F₂为椭圆C的左右焦点，点I为△PF₁F₂的内心，直线PI与x轴相交于点N，求点N横坐标的取值范围．

Answer 1

分析 （1）因为桌球第一次与球桌边缘的接触点可能椭圆长轴的两个端点及这两个端点外的任一点三种情况，分别表示出S=2（a-c）或S=2（a+c）或S=4a；
（2）求得M点坐标，求得直线MA和MB的方程，将M点坐标代入，即可求得直线AB方程$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+ty-1，直线AB恒过定点$F（{\sqrt{3}，0}）$；求得椭圆的切线方程，由直线PI⊥l，${l_{PI}}：y=\frac{{4{y_0}}}{x_0}x-3{y_0}$，y=0，得点N的横坐标为${x_N}=\frac{{3{x_0}}}{4}$，根据x₀的取值范围，即可求得点N横坐标的取值范围．

解答 解：（1）记$c=\sqrt{{a^2}-{b^2}}$，
因为桌球第一次与球桌边缘的接触点可能椭圆长轴的两个端点及这两个端点外的任一点三种情况，
所以S=2（a-c）或S=2（a+c）或S=4a；[（4分）]
（2）①设$M（{\frac{{4\sqrt{3}}}{3}，t}）（{t∈R}），A（{{x_1}，{y_1}}），B（{{x_2}，{y_2}}）$，则…[（5分）]，
${l_{MA}}：\frac{{{x_1}x}}{4}+{y_1}y=1，{l_{MB}}：\frac{{{x_2}x}}{4}+{y_2}y=1$，…[（6分）]
代入$M（{\frac{{4\sqrt{3}}}{3}，t}）$，得${l_{MA}}：\frac{{\sqrt{3}}}{3}{x_1}+t{y_1}=1，{l_{MB}}：\frac{{\sqrt{3}}}{3}{x_2}+t{y_2}=1$，…[（7分）]
则点A，B的坐标均满足方程$\frac{{\sqrt{3}}}{3}x+ty=1，即{l_{AB}}：\frac{{\sqrt{3}}}{3}x+ty-1=0$，…[（9分）]
所以，直线AB恒过定点$F（{\sqrt{3}，0}）$；…[（10分）]
②由（2）的结论知：椭圆C在P（x₀，y₀）处的切线l的方程为$\frac{{{x_0}x}}{4}+{y_0}y=1$，…[（11分）]
由事实现象（2）知：直线PI⊥l，
∴${l_{PI}}：y=\frac{{4{y_0}}}{x_0}x-3{y_0}$…[（13分）]
令y=0，得点N的横坐标为${x_N}=\frac{{3{x_0}}}{4}$，…[（15分）]
∵x₀∈（0，2），
∴${x_N}∈（{0，\frac{3}{2}}）$．…[（16分）]

点评 本题考查椭圆方程的实际应用，考查直线与椭圆的位置关系，直线的切线方程，考查计算能力，属于中档题．