Question

18．已知曲线Γ：y=e^x和直线l：y=kx，若直线l上有且只有两个点关于y轴的对称点在曲线Γ上，则k的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-e）
• B． （-∞，-e]
• C． （-e，0）
• D． [-e，0）

Answer 1

分析 求出l关于y轴的对称直线方程，把直线l上有且只有两个点关于y轴的对称点在曲线Γ：y=e^x上，转化为直线y=-kx与y=e^x有两个交点，然后求出过原点与曲线Γ：y=e^x相切的直线的斜率得答案．

解答 解：直线l：y=kx关于y轴的对称直线方程为y=-kx，
要使直线l上有且只有两个点关于y轴的对称点在曲线Γ：y=e^x上，
则直线y=-kx与y=e^x有两个交点，
如图，设过原点的直线切曲线y=e^x于P（${x}_{0}，{e}^{{x}_{0}}$），
由y=e^x，得y′=e^x，∴$y′{|}_{x={x}_{0}}={e}^{{x}_{0}}$，
则切线方程为y-${e}^{{x}_{0}}$=${e}^{{x}_{0}}$（x-x₀），
把O（0，0）代入，可得x₀=1，
∴切线的斜率k=e¹=e，
∴-k＞e，则k＜-e．
∴k的取值范围是（-∞，-e）．
故选：A．

点评 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查数学转化思想方法，是中档题．