Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为棱DD₁，AB上的点．已知下列判断：
①A₁C⊥平面B₁EF；
②△B₁EF在侧面BCC₁B₁上的正投影是面积为定值的三角形；
③在平面A₁B₁C₁D₁内总存在与平面B₁EF平行的直线；
④平面B₁EF与平面ABCD所成的二面角（锐角）的大小与点E的位置有关，与点F的位置无关．
其中正确结论的序号为

 

（写出所有正确结论的序号）．

Answer 1

考点：棱柱的结构特征

专题：空间位置关系与距离

分析：利用线面垂直的性质及三垂线逆定理，证明当F与A不重合时，A₁C与平面B₁EF不垂直；可得①错误；
根据射影的定义及三角形的面积公式可得射影三角形的面积；从而判断②是否正确；
根据线面平行的判定定理可得③正确；
固定E的位置，变化F的位置，可得二面角的大小是变化的，由此可得④正确．

解答： 解：若A₁C⊥平面B₁EF，则A₁C⊥B₁F，由三垂线逆定理知：B₁F⊥A₁B，又当F与A不重合时，B₁F与A₁B不垂直，∴①错误；
∵E在侧面BCC₁B₁上的投影在CC₁上，F在侧面BCC₁B₁上的投影是B，∴△B₁EF在侧面BCC₁B₁上的正投影是三角形，三角形的面积S=

1

2

×棱长×棱长为定值．∴②正确；
设平面A₁B₁C₁D₁∩平面B₁EF=l，∵平面A₁B₁C₁D₁内总存在与l平行的直线，由线面平行的判定定理得与l平行的直线，与平面B₁EF平行，∴③正确；
设E与D重合，F位置变化，平面B₁EF与平面ABCD所成的二面角（锐角）的大小也在变化，∴④错误．
故答案为：②③．

点评：本题考查了线面垂直的性质，线面平行的判断及二面角的平面角的求法，考查了学生的空间想象能力与识图能力，熟练掌握线面平行的判定定理及线面平行的性质定理是解题的关键．