Question

4．已知三棱锥A-BCD中，AD⊥平面BCD，AD=BD=CD=1，E是BC中点，则直线AE与CD所成角的余弦值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{5}}{4}$
• C． $\frac{\sqrt{6}}{6}$
• D． $\frac{3\sqrt{2}}{8}$

Answer 1

分析 以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，DA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AE与CD所成角的余弦值．

解答 解：以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，DA为z轴，建立空间直角坐标系，
A（0，0，1），B（1，0，0），C（0，1，0），E（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$，0），D（0，0，0），
$\overrightarrow{AE}$=（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$，-1），$\overrightarrow{CD}$=（0，-1，0），
设直线AE与CD所成角为θ，
则直线AE与CD所成角的余弦值为：
cosθ=$\frac{|\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{CD}|}{|\overrightarrow{AE}|•|\overrightarrow{CD}|}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{6}{4}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
故选：C．

点评 本题考查异面直线所成角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．