Question

3．直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BCA=90°，CA=CC₁=2CB，则直线BC₁与直线AB₁所成角的余弦值为（　　）

• A． $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
• B． $\frac{\sqrt{5}}{3}$
• C． $\frac{3}{5}$
• D． $\frac{\sqrt{5}}{5}$

Answer 1

分析 以C₁为原点，C₁B₁为x轴，C₁A₁为y轴，C₁C为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BC₁与直线AB₁所成角的余弦值．

解答 解：如图，∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BCA=90°，CA=CC₁=2CB，
∴以C₁为原点，C₁B₁为x轴，C₁A₁为y轴，C₁C为z轴，建立空间直角坐标系，
设CA=2，则B（1，0，2），C₁（0，0，0），A（0，2，2），B₁（1，0，0），
$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（-1，0，-2），$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（1，-2，-2），
设直线BC₁与直线AB₁所成角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{B{C}_{1}}•\overrightarrow{A{B}_{1}}|}{|\overrightarrow{B{C}_{1}}|•|\overrightarrow{A{B}_{1}}|}$=$\frac{3}{\sqrt{5}•\sqrt{9}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
故选：D．

点评 本题考查异面直线所成角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．