Question

4．设S_n，T_n分别是数列{a_n}和{b_n}的前n项和，已知对于任意n∈N^*，都有3a_n=2S_n+3，数列{b_n}是等差数列，且T₅=25，b₁₀=19．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=$\frac{{{a}_{n}b}_{n}}{n（n+1）}$，求数列{c_n}的前n项和R_n．

Answer 1

分析 （I）3a_n=2S_n+3，∴利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出a_n．利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出b_n．
（II）c_n=$\frac{{{a}_{n}b}_{n}}{n（n+1）}$=$\frac{{3}^{n}（2n-1）}{n（n+1）}$=$\frac{{3}^{n}[3n-（n+1）]}{n（n+1）}$=$\frac{{3}^{n+1}}{n+1}$-$\frac{{3}^{n}}{n}$，利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（I）∵3a_n=2S_n+3，∴n≥2时，3a_n-1=2S_n-1+3，
相减可得：3a_n-3a_n-1=2a_n，化为：a_n=3a_n-1，
n=1时，可得3a₁=2a₁+3，解得a₁=3．
∴数列{a_n}是等比数列，首项与公比都为3．
∴a_n=3ⁿ．
设等差数列{b_n}的公差为d，∵T₅=25，b₁₀=19．
∴5b₁+$\frac{5×4}{2}$×d=25，b₁+9d=19，
联立解得：b₁=1，d=2．
∴b_n=1+2（n-1）=2n-1．
（II）c_n=$\frac{{{a}_{n}b}_{n}}{n（n+1）}$=$\frac{{3}^{n}（2n-1）}{n（n+1）}$=$\frac{{3}^{n}[3n-（n+1）]}{n（n+1）}$=$\frac{{3}^{n+1}}{n+1}$-$\frac{{3}^{n}}{n}$，
∴数列{c_n}的前n项和R_n=$（\frac{{3}^{2}}{2}-\frac{3}{1}）$+$（\frac{{3}^{3}}{3}-\frac{{3}^{2}}{2}）$+…+$（\frac{{3}^{n+1}}{n+1}-\frac{{3}^{n}}{n}）$=$\frac{{3}^{n+1}}{n+1}$-3．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式及其性质、裂项求和、数列的递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．