Question

16．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，点P在双曲线的右支上，且|PF₁|=5|PF₂|，则此双曲线的离心率的取值范围是（　　）

• A． （1，$\sqrt{3}$]
• B． （1，$\frac{3}{2}$]
• C． [$\frac{3}{2}$，+∞）
• D． （3，+∞）

Answer 1

分析 由双曲线的定义可得|PF₁|-|PF₂|=4|PF₂|=2a，再根据点P在双曲线的右支上，可得|PF₂|≥c-a，从而求得此双曲线的离心率e的取值范围．

解答 解：∵|PF₁|=5|PF₂|，
∴由双曲线的定义可得|PF₁|-|PF₂|=4|PF₂|=2a，
∴|PF₂|=$\frac{1}{2}$a，
∵点P在双曲线的右支上，
∴|PF₂|≥c-a，即$\frac{1}{2}$a≥c-a，即$\frac{3}{2}$a≥c，
∴e=$\frac{c}{a}$≤$\frac{3}{2}$，
∵e＞1，
∴1＜e≤$\frac{3}{2}$，
∴双曲线的离心率e的取值范围为（1，$\frac{3}{2}$]．
故选B．

点评 本题考查双曲线的定义和标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．