Question

在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，动点M在线段AC₁上，动点N在线段BC上，建立空间直角坐标系（如图所示），求线段MN长度最小值，以及此时点M，N的坐标．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,空间中的点的坐标

专题：空间位置关系与距离

分析：线段MN长度最小时，MN是BC和AC₁的公垂直线段，由此利用向量法能求出线段MN长度最小值，以及此时点M，N的坐标．

解答： 解：由已知得B（1，0，0），C（1，1，0），
A（0，0，0），C₁（1，1，1），

BC

=（0，1，0），

AC1

=（1，1，1），
设

BN

=m

BC

，

AM

=n

AC1

，
则

BN

=（0，m，0），N（1，m，0），

AM

=（n，n，n），M（n，n，n），
∴

NM

=(n-1，n-m，n)，
∵线段MN长度最小，∴MN⊥BC，且MN⊥AC₁，
∴

MN • BC =n-m=0 MN • AC1 =n-1+n-m+n=0

，
∴m=n=

1

2

，
∴线段MN长度最小值为|

NM

|_min=

(- 1 2 )2+02+( 1 2 )2

=

2

2

，
此时M（

1

2

，

1

2

，

1

2

），N（1，

1

2

，0）．

点评：本题考查线段MN长度最小值以及此时点M，N的坐标的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．