Question

过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则

|AF|

|BF|

的值为

 

．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：首先，写出抛物线的焦点坐标，然后，求解直线的方程，利用焦半径公式求解比值．

解答： 解：∵抛物线y²=2px（p＞0），
∴它的焦点坐标为（

p

2

，0），
∵直线l倾斜角为60°，
∴直线l的方程为：
y-0=

3

（x-

p

2

），
即

3

x-y-

3 p

2

=0．
设直线与抛物线的交点为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
∴|AF|=x₁+

p

2

，|BF|=x₂+

p

2

，
联立方程组

y2=2px y= 3 x- 3 p 2

，
消去y并整理，得
12x²-20px+3p²=0，
解得x₁=

3p

2

，x₂=

p

6

，
∴|AF|=x₁+

p

2

=2p，|BF|=x₂+

p

2

=

2p

3

，
∴|AF|：|BF|=3：1，
∴

|AF|

|BF|

的值为3．
故答案为：3．

点评：本题重点考查了抛物线的几何性质、方程、直线与抛物线的位置关系等知识，属于中档题．