Question

给出以下四个结论：
①若实数x，y∈[0，1]，则满足：x²+y²＞1的概率为

π

4

②若将函数f（x）=sin（2x-

π

3

）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位后变为偶函数，则φ的最小值是

π

12

；
③曲线y=1+

4-x2

（|x|≤2）与直线y=k（x-2）+4有两个交点时，实数k的取值范围是（

5

12

，

3

4

]；
④已知命题p：抛物线y=2x²的准线方程为y=-

1

2

，命题q：若函数f（x+1）为偶函数，则f（x）关于x=1对称，则p∨q为真命题．
其中正确结论的序号是：

 

．（把所有正确结论的序号都填上）．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：阅读型,三角函数的图像与性质,直线与圆

分析：①这是几何概率的求法，先要确定两个区域和一个测度，可计算面积，相除即可得到；
②根据三角函数的图象的平移规律，再由诱导公式，即可求出φ，取k的值，即可求出最小值；
③判断曲线的形状为半圆，考虑直线与半圆相切，和经过点（-2，1），求出k，即得到所求范围；
④对命题p，q分别判断，再由复合命题的真假和真值表，即可判断．

解答： 解：①区域D：0≤x≤1且0≤y≤1，即正方形及内部，
区域d：以O为圆心，1为半径的圆外的部分，如图1，
测度：面积，故概率为

1- 1 4 π

1

=1-

π

4

，故①错；
②将函数f（x）=sin（2x-

π

3

）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位后
得到f（x）=sin[2（x-φ）-

π

3

]=sin（2x-2φ-

π

3

），
由偶函数得到2φ+

π

3

=kπ+

π

2

，φ=

kπ

2

+

π

12

，
k∈Z，当k=0时，φ=

π

12

，故②正确；
③曲线y=1+

4-x2

（|x|≤2）表示以（0，1）为圆心，2为半径的上半圆，
直线y=k（x-2）+4恒过点（2，4），如图2
当直线与半圆相切，有

|-1+4-2k|

1+k2

=2，解得，k=

5

12

，
当直线过点（-2，1）时，k=

3

4

，故曲线与直线有两个交点时，
k的取值范围为（

5

12

，

3

4

]，故③正确；
④抛物线y=2x²的准线方程为y=-

1

8

，故p为假命题，
若函数f（x+1）为偶函数，则f（1-x）=f（1+x），
故f（x）关于x=1对称，故q正确，故p∨q为真命题．
故④正确．
故答案为：②③④．

点评：本题以命题的真假判断为载体，考查直线与圆的位置关系，抛物线的方程和几何性质，同时考查函数的奇偶性、对称性，以及三角函数的图象平移，几何概率的求法，属于中档题．