Question

11．已知非零向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$满足：$|{\overrightarrow a}|=|{\overrightarrow b}|=|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|$，$（{\overrightarrow a+\overrightarrow b}）⊥（{2\overrightarrow a+λ\overrightarrow b}）$，则实数λ的值为（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． -2

Answer 1

分析 由$|{\overrightarrow a}|=|{\overrightarrow b}|=|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|$平方得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=-$\frac{1}{2}{\overrightarrow{a}}^{2}$=-$\frac{1}{2}{\overrightarrow{b}}^{2}$．又由$（{\overrightarrow a+\overrightarrow b}）⊥（{2\overrightarrow a+λ\overrightarrow b}）$得$（{\overrightarrow a+\overrightarrow b}）•（{2\overrightarrow a+λ\overrightarrow b}）=0$，化简代入即可得出．

解答 解：由$|{\overrightarrow a}|=|{\overrightarrow b}|=|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|$平方得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=-$\frac{1}{2}{\overrightarrow{a}}^{2}$=-$\frac{1}{2}{\overrightarrow{b}}^{2}$．
又由$（{\overrightarrow a+\overrightarrow b}）⊥（{2\overrightarrow a+λ\overrightarrow b}）$得$（{\overrightarrow a+\overrightarrow b}）•（{2\overrightarrow a+λ\overrightarrow b}）=0$，即$2{\overrightarrow a^2}+λ{\overrightarrow b^2}+（{2+λ}）\overrightarrow a•\overrightarrow b=0$
化简得4+2λ-（2+λ）=0，解得λ=-2．
故选：D．

点评 本题考查了复向量垂直与数量积的关系、数量积的运算性质、方程思想，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．