Question

19．已知函数f（x）=2|x+a|+|x-$\frac{1}{a}$|（a≠0）．
（1）当a=-1时，解不等式f（x）＜4；
（2）求函数g（x）=f（x）+f（-x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的分段函数的形式，解各个区间上的x的范围，取并集即可；（2）根据绝对值的性质求出g（x）的最小值即可．

解答 解：（1）a=1时，f（x）=2|x+1|+|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{3x+1，x≥1}\\{x+3，-1≤x＜1}\\{-3x-1，x＜-1}\end{array}\right.$，
解下列不等式：
$\left\{\begin{array}{l}{3x+1＜4}\\{x≥1}\end{array}\right.$，无解；
$\left\{\begin{array}{l}{x+3＜4}\\{-1≤x＜1}\end{array}\right.$，解得：-1≤x＜1，
$\left\{\begin{array}{l}{-3x-1＜4}\\{x＜-1}\end{array}\right.$，解得：-$\frac{5}{3}$＜x＜-1，
综上，不等式的解集是{x|-$\frac{5}{3}$＜x＜1}；
（2）g（x）=f（x）+f（-x）=2|x+a|+|x-$\frac{1}{a}$|+2|x-a|+|x+$\frac{1}{a}$|
=2（|x+a|+|a-x|）+（|$\frac{1}{a}$-x|+|x+$\frac{1}{a}$|）
≥2（|x+a+a-x|）+|$\frac{1}{a}$-x+x+$\frac{1}{a}$|=4|a|+2|$\frac{1}{a}$|≥2$\sqrt{2}$，
当且仅当2|a|=|$\frac{1}{a}$|即a=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$且-$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤x≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，取g（x）的最小值4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值的性质以及分类讨论思想，在一道中档题．