题目内容
3．经市场调查，某商品每吨的价格为x（1＜x＜14）万元时，该商品的月供给量为y1吨，y1=ax+$\frac{7}{2}$a2-a（a＞0）：月需求量为y2吨，y2=-$\frac{1}{224}$x2-$\frac{1}{112}$x+1，当该商品的需求量大于供给量时，销售量等于供给量：当该商品的需求量不大于供给量时，销售量等于需求量，该商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积．（1）已知a=$\frac{1}{7}$，若某月该商品的价格为x=7，求商品在该月的销售额（精确到1元）；
（2）记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格，若该商品的均衡价格不低于每吨6万元，求实数a的取值范围．
分析 （1）计算y1，y2，比较大小确定销售量，再计算销售额；
（2）令f（x）=y1-y2，则f（x）在[6，14）上有零点，根据零点的存在性定理列不等式组解出a的范围．
解答 解：（1）当a=$\frac{1}{7}$，x=7时，y1=$\frac{1}{7}$×7+$\frac{7}{2}$×（$\frac{1}{7}$）2-$\frac{1}{7}$=1+$\frac{1}{14}$-$\frac{1}{7}$=$\frac{13}{14}$，
y2=-$\frac{1}{224}$×（7）2-$\frac{1}{112}$×7+1=$\frac{37}{32}$，
∴y1＜y2，
∴该月销售额为7×$\frac{23}{32}$×104≈50313（元）．
（2）令f（x）=y1-y2=$\frac{1}{224}$x2+（$\frac{1}{112}$+a）x+$\frac{7}{2}{a}^{2}$-a-1，
则f（x）在[6，14）上有零点，
∵a＞0，∴f（x）对称轴为直线x=-$\frac{\frac{1}{112}+a}{\frac{1}{112}}$＜0，又f（x）的图象开口向上，
∴f（x）在[6，14）上只有1个零点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（6）≤0}\\{f（14）＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{36}{224}+6（\frac{1}{112}+a）+\frac{7}{2}{a}^{2}-a-1≤0}\\{\frac{196}{224}+14（\frac{1}{112}+a）+\frac{7}{2}{a}^{2}-a-a＞0}\end{array}\right.$，
又a＞0，
解得：0＜a≤$\frac{1}{7}$．
点评 本题考查了二次函数的性质，零点的存在性定理，属于中档题．
甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，则平均数较小的一组数为甲．（选填“甲”或“乙”）| X | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Y | 25 | 30 | 40 | 45 |
| A． | 59.5 | B． | 52.5 | C． | 56 | D． | 63.5 |
| A． | 12种选法 | B． | 14种选法 | C． | 24种选法 | D． | 22种选法 |
| A． | $\sqrt{2}$ | B． | $\sqrt{3}$ | C． | $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ | D． | 2$\sqrt{3}$ |