Question

16．已知函数f（x）对任意的x∈R，都有f（-x）+f（x）=-6，且当x≥0时，f（x）=2^x-4，定义在R上的函数g（x）=a（x-a）（x+a+1），两函数同时满足：?x∈R，都有f（x）＜0或g（x）＜0；?x∈（-∞，-1），f（x）•g（x）＜0，则实数a的取值范围为（　　）

• A． （-3，0）
• B． $（-3，-\frac{1}{2}）$
• C． （-3，-1）
• D． （-3，-1]

Answer 1

分析 求出f（x）的解析式，根据条件得出g（x）需满足的条件，根据二次函数额性质列出不等式解出a的范围．

解答 解：∵f（-x）+f（x）=-6，∴函数f（x）的图象关于点（0，-3）对称，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-4，x≥0}\\{{-2}^{-x}-2，x＜0}\end{array}\right.$．
∴当x＜2时f（x）＜0，当x≥2，f（x）≥0．
为同时满足两条件，则需函数g（x）满足①当x≥2时，g（x）＜0恒成立；②当x＜-1时，g（x）＞0有解．
（1）当a≥0时，显然g（x）不满足条件①；
（2）当a＜0时，方程g（x）=0的两根为x₁=a，x₂=-a-1，
∵a＜0，∴-a-1＞-1，
∴$\left\{\begin{array}{l}a＜-1\\-a-1＜2\end{array}\right.$，解得-3＜a＜-1．
故选C．

点评 本题考查了函数的对称性应用，函数解析式的求解，二次函数的性质，属于中档题．