Question

9．已知函数y=x³+3x²+a有且仅有两个零点x₁和x₂（x₁＜x₂），则x₂-x₁的值为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 可先求导数，得出原函数的极值点，并根据题意可判断x₁=0，或x₂=-2，带入原函数即可分别求出a=0或-4，从而求出原函数的零点，进一步即可确定x₁，x₂的值，从而求出x₂-x₁的值．

解答 解：y′=3x²+6x；
∴-2，0是原函数的两个极值点；
∴x＜-2，和x＞0时，原函数单调递增，-2≤x≤0时，单调递减；
且x₁，x₂中必有一个是极值点；
①若0是原函数的零点，则：
∴0=0+0+a；
∴a=0；
∴y=x³+3x²；
令y=0得，x=0，-3；
∵x₁＜x₂；
∴x₁=-3，x₂=0；
∴x₂-x₁=3．
②若-2是零点，则：
-8+12+a=0；
∴a=-4；
∴x³+3x²-4=（x³-1）+3（x²-1）
=（x-1）（x+2）²
=0；
∴x=1，-2；
∴x₁=-2，x₂=1；
∴x₂-x₁=3．
故选C．

点评 考查函数零点的定义，根据导数求函数极值点的方法及极值点的定义，以及函数单调性和函数导数符号的关系，可借助图象解决问题．