Question

19．已知函数f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+m}$（m≠0），则下列结论正确的是①④
①函数f（x）是奇函数，且过点（0，0）；
②函数f（x）的极值点是x=±$\sqrt{m}$；
③当m＜0时，函数f（x）是单调递减函数，值域是R；
④当m＞0时，函数y=f（x）-a的零点个数可以是0个，1个，2个．

Answer 1

分析 利用函数的解析式对4个选项分别进行判断，即可得出结论．

解答 解：①∵f（-x）=-$\frac{x}{{x}^{2}+m}$=-f（x），∴函数f（x）是奇函数，
∵f（0）=0，∴函数f（x）过点（0，0），故正确；
②m＞0，函数f（x）的极值点是x=±$\sqrt{m}$；，故不正确
③当m＜0时，x=0，f（0）=0，x≠0，f（x）=$\frac{1}{x+\frac{m}{x}}$，函数f（x）在（-∞，0），（0，+∞）单调递减函数，故不正确；
④当m＞0时，x=0，f（0）=0，x≠0，f（x）=$\frac{1}{x+\frac{m}{x}}$，大致图象如图所示

所以函数y=f（x）-a的零点个数可以是0个，1个，2个．正确．
故答案为：①④．

点评 本题考查函数的解析式与性质，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．