Question

4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC+（cosA-$\sqrt{3}$sinA）cosB=0．
（1）求角B的大小；
（2）若b=$\sqrt{3}$，c=1，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用诱导公式、两角和的余弦公式、商的关系化简已知的式子，根据内角的范围和特殊角的三角函数值求出B的值；
（2）由条件和余弦定理列出方程求出a的值，由三角形的面积公式求出△ABC的面积．

解答 解：（1）在△ABC中，∵C=π-（A+B），cosC+（cosA-$\sqrt{3}$sinA）cosB=0，
∴-cos（A+B）+cosAcosB-$\sqrt{3}$sinAcosB=0--（1分）
即sinAsinB-$\sqrt{3}$sinAcosB=0--（2分）
∵sinA≠0，∴sinB-$\sqrt{3}$cosB=0，即tanB=$\sqrt{3}$，--（3分）
∵0＜B＜π，∴$B=\frac{π}{3}$--（5分）
（2）由余弦定理得，b²=a²+c²-2ac•cosB，
把b=$\sqrt{3}$，c=1代入得，3=a²+1-a，--（6分）
即a²-a-2=0，解得a=2--（8分）
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}acsinB=\frac{1}{2}•2•1•\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$--（10分）

点评 本题考查了余弦定理，诱导公式、两角和的余弦公式、商的关系，以及三角形的面积公式，注意内角的范围，考查化简、变形能力．