Question

已知f（x）=2ax+blnx-1，设曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线为y=0．
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）设函数g（x）=mf（x）+

x2

2

-mx．
（i）若m∈R，求函数g（x）的单调区间；
（ii）若1＜m＜3，求证：当x∈[1，e]时，g（x）＜

e2

2

-2．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由已知f′(x)=2a+

b

x

，依题意f（1）=0，且f'（1）=0，由此能求出实数a，b的值．
（Ⅱ）（i）由f（x）=x-lnx-1，x＞0，得g(x)=

x2

2

-mlnx-m(x＞0)，g′(x)=x-

m

x

=

x2-m

x

，由此能求出函数g（x）的单调区间．
（ii）当1＜m＜3，x∈[1，e]时，

m

∈[1，e]，g（x）在区间[1，

m

)上是减函数，在区间(

m

，e]上是增函数，由此能证明x∈[1，e]时，g(x)＜

e2

2

-2．

解答： 解：（Ⅰ）由已知f′(x)=2a+

b

x

，
依题意f（1）=0，且f'（1）=0
所以

2a-1=0 2a+b=0

，
解得a=

1

2

，b=-1…（5分）
（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）得f（x）=x-lnx-1，x＞0
所以g(x)=

x2

2

-mlnx-m(x＞0)，g′(x)=x-

m

x

=

x2-m

x

…（6分）
当m≤0，g'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
所以在区间（0，+∞）上是增函数，…（7分）
当m＞0时，由g'（x）＞0得x＞

m

，由g'（x）＜0得0＜x＜

m

，
所以g（x）在区间(0，

m

)上是减函数，在区间(

m

，+∞)上是增函数，…（9分）
（ii）当1＜m＜3，x∈[1，e]时，

m

∈[1，e]，
g（x）在区间[1，

m

)上是减函数，在区间(

m

，e]上是增函数
所以g（x）最大值为max（g（1），g（e））…（11分）
又因为1＜m＜3，g(e)=

e2

2

-2m＜

e2

2

-2，g(1)=

1

2

-m＜0＜

e2

2

-2
所以当1＜m＜3，x∈[1，e]时，g(x)＜

e2

2

-2…（14分）

点评：本题考查实数的求法，考查函数的单调性的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．