Question

18．如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥AD，AB=1，$AC=\sqrt{7}$，$∠ABC=\frac{2π}{3}$，$∠ACD=\frac{π}{3}$．
（Ⅰ）求sin∠BAC；
（Ⅱ）求DC的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知及余弦定理可求BC的值，利用正弦定理即可得解sin∠BAC的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）利用诱导公式可求cos∠CAD，从而利用同角三角函数基本关系式可求sin∠CAD，进而利用两角和的正弦函数公式可求sinD的值，由正弦定理即可得解DC的值．

解答 （本题满分为12分）
解：（Ⅰ）在△ABC中，由余弦定理得：AC²=BC²+BA²-2BC•BAcosB，
即BC²+BC-6=0，解得：BC=2，或BC=-3（舍），（3分）
由正弦定理得：$\frac{BC}{sin∠BAC}=\frac{AC}{sinB}⇒sin∠BAC=\frac{BCsinB}{AC}=\frac{{\sqrt{21}}}{7}$．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）有：$cos∠CAD=sin∠BAC=\frac{{\sqrt{21}}}{7}$，$sin∠CAD=\sqrt{1-\frac{3}{7}}=\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$，
所以$sinD=sin（{∠CAD+\frac{π}{3}}）=\frac{{2\sqrt{7}}}{7}×\frac{1}{2}+\frac{{\sqrt{21}}}{7}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{5\sqrt{7}}}{14}$，（9分）
由正弦定理得：$\frac{DC}{sin∠CAD}=\frac{AC}{sinD}⇒DC=\frac{ACsin∠CAD}{sinD}=\frac{{\sqrt{7}×\frac{{2\sqrt{7}}}{7}}}{{\frac{{5\sqrt{7}}}{14}}}=\frac{{4\sqrt{7}}}{5}$．（12分）
（其他方法相应给分）

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，诱导公式，两角和的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．