Question

3．定义在R上的函数f（x），g（x），其中f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，且f（x）+g（x）=a²x³+x²+a³（a≠0）
（1）求f（x）和g（x）的解析式；
（2）命题P：对任意x∈[1，2]，都有f（x）≥1，命题Q：存在x∈[-2，3]，使g（x）≥17，若P∨Q为真，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用函数的奇偶性列出方程组，转化求解函数的解析式即可．
（2）求出两个命题为真命题时，a的范围，然后利用复合命题求解即可．

解答 解：（1）∵f（x）+g（x）=a²x³+x²+a³①，
f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，
-f（x）+g（x）=-a²x³+x²+a³②，
解得f（x）=a²x³，g（x）=x²+a³ a≠0，a∈R．
（2）若p真，f（x）_min≥1，x∈[1，2]，
∴a²≥1?a≥1或a≤-1，
若q真，g（x）_min≥17，
即9+a³≥17解得a≥2，
P∨Q为真，
则a的范围为：（-∞，-1]∪[1，+∞]．

点评 本题考查命题的真假的判断，函数的奇偶性的应用，函数的解析式的求法，考查计算能力．