Question

11．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，点E是PC中点，作EF⊥PB，交PB于点F．
（1）求证：PA∥平面EDB；
（2）求证：平面EFD⊥平面PBC
（3）求证：PB⊥平面EFD．

Answer 1

分析 （1）利用线面平行的判定定理证明线面平行．
（2）利用线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理即可证明．
（3）利用线面垂直的判定定理证明．

解答 （本小题满分12分）
证明：（1）连AC与BD相交于O，连接OE，
则OE为△APC的中位线，OE∥PA，
又OE?平面EDB，PA?平面EDB，
由线面平行的判定定理知PA∥平面EDB…（3分）
（2）PD=DC，且PD⊥底面ABCD，
∴△PDC为等腰直角三角形，E是PC中点，DE⊥PC，
又底面ABCD为正方形BC⊥DC，
由BC⊥PD，PD∩DC=D，
∴BC⊥平面PDC，而DE?平面PDC，
∴DE⊥BC，又PC∩BC=C，
∴DE⊥平面PBC，DE?平面EFD
故平面EFD⊥平面PBC…（9分）
（3）由（2）知，DE⊥平面PBC，PB?平面PBC，
∴PB⊥DE，
又PB⊥EF，EF∩DE=E，
∴PB⊥平面EFD．…（12分）

点评 本题主要考查线面平行、面面垂直和线面垂直的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，要求熟练掌握相应的判定定理，属于中档题．